অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার (প্রস্থ) = x মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= 2x × x = 2x² বর্গ মি.
প্রশ্নানুসারে, 2x² = 512
বা, x² = 256
∴ x = 16
অতএব, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি.
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2 × 16 মি. বা 32 মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার
= 96 মিটার (Ans.)
প্রশ্নঃ 2 : একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, জমির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার
এবং প্রস্থ = 60 মিটার
∴ জমির ক্ষেত্রফল = জমির দৈর্ঘ্য × জমির প্রস্থ
= (80 × 60) মিটার বা 4800 বর্গমিটার
পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য = (80 – 2 × 4) মিটার
= (80 – 8) মিটার বা 72 মিটার
পুকুরের প্রস্থ = (60 – 2 × 4) মিটার
= (60 – 8) মিটার বা 52 মিটার
∴ পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (72 × 52) বর্গমিটার
= 3744 বর্গমিটার
∴ পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল = জমির ক্ষেত্রফল – পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (4800 – 3744) বর্গমিটার
= 1056 বর্গমিটার (Ans.)
প্রশ্নঃ 3 : একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড়বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের ½ অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = x মি.
এখানে, বাগানের দৈর্ঘ্য = 40 মি.
এবং বাগানের প্রস্থ = 30 মি.
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (40 × 30) বর্গমি. বা 1200 বর্গমি.
∴ পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য = (40 – 2x) মি.
এবং পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মি.
পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (40 – 2x) (30 – 2x) বর্গমি.
শর্তানুসারে,
পুকুরের ক্ষেত্রফল = ½ × বাগানের ক্ষেত্রফল
বা, (40 – 2x) (30 – 2x) = ½ × 1200
বা, 1200 – 80x – 60x + 4x² = 600
বা, 4x² –140x + 1200 – 600 = 0
বা, 4x² –140x + 600 = 0
বা, 4(x² – 35x + 150) = 0
বা, x² – 30x – 5x + 150 = 0
বা, x(x – 30) – 5(x – 30) = 0
বা, (x – 30) (x – 5) = 0
হয়, (x – 30) = 0
∴ x = 30
অথবা, (x – 5) = 0
∴ x = 5
কিন্তু পুকুরের পাড়ের প্রস্থ বাগানের প্রস্থের সমান হতে পারে না।
∴ x = 5 অর্থাৎ, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = 5 মিটার
∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য = (40 – 2x) মিটার
= (40 – 2 × 5) মিটার
= (40 – 10) মিটার = 30 মিটার
এবং পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মিটার
= (30 – 2 × 5) মিটার
= (30 – 10) মিটার = 20 মিটার
নির্ণেয় পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মি. এবং প্রস্থ 20 মি.
প্রশ্নঃ 4 : একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মি.
রাস্তার ক্ষেত্রফল = 500 বর্গ মি.
অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + 500) বর্গমি. … … … … (i)
আবার, রাস্তাসহ বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (x + 2 × 5) মি.
= (x + 10) মি.
” ” ” ক্ষেত্রফল = (x + 10)² বর্গমি.
= (x² + 20x + 100) বর্গমিটার … … … … … (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই, x² + 20x + 100 = x² + 500
বা, 20x = 400 ∴ x = 20
অতএব, মাঠের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মি. = 20² বর্গমি.
= 400 বর্গমিটার। (Ans.)
প্রশ্নঃ 5 : একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধতে মোট কতটি পাথর লাগবে?
সমাধান : মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3x² মি.
প্রশ্নানুসারে, 3x² = 768
বা, x² = 256
∴ x = 16
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3 × 16 মি. বা 48 মি.
অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(48 + 16) মি. বা 128 মি.
অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 128 মিটার
∴ ” এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (128 ÷ 4) মি. বা 32 মি.
∴ ” ক্ষেত্রফল = (32)² বর্গমি. বা 1024 বর্গমি.
একটি পাথরের ক্ষেত্রফল = (0.4)² বর্গমি. বা 0.16 বর্গমি.
∴ মোট পাথর লাগবে = (1024 ÷ 0.16)টি বা 6400টি। (Ans.)
প্রশ্নঃ 6 : একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মি.
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = y মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমি.
প্রশ্নানুসারে, xy = 160 ….. ….. ….. ….. ….. ….. (i)
আবার শর্তানুসারে, x – 6 = y
বা, x = y + 6 …… ….. ….. ….. (ii)
এখন, x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(y + 6)y = 160
বা, y² + 6y – 160 = 0
বা, y² + 16y – 10y – 160 = 0
বা, (y + 16) (y – 10) = 0
হয়, y + 16 = 0
∴ y = -16
অথবা, y – 10 = 0
∴ y = 10
কিন্তু y = -16 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ y = 10
এখন (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
x = 10 + 6
∴ x = 16
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার। (Ans.)
