SSC গণিত সমাধান সৃজনশীল (Srijonshil) এবং বহুনির্বাচনি (mcq) প্রশ্নের উত্তর অনুশীলনী-১২.৩ pdf download ~ Exam Cares

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

◈ লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান :

 দুই চলকবিশিষ্ট একটি সরল সমীকরণে বিদ্যমান চলক x ও y এর সম্পর্ককে চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। এই চিত্রকে ঐ সম্পর্কের লেখচিত্র বলে। এ জাতীয় সমীকরণের লেখচিত্রে অসংখ্য বিন্দু থাকে। এরূপ কয়েকটি বিন্দু স্থাপন করে এদের পরস্পর সংযুক্ত করলেই লেখচিত্র পাওয়া যায়। দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সরল সমীকরণের লেখ একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ঐ ছেদ বিন্দুর স্থানাংক দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। ছেদবিন্দুটির স্থানাংকই হবে সমীকরণদ্বয়ের সমাধান।

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 9 : 3x + 2 = x – 2

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ 3x + 2 = x – 2

 ধরি, y = 3x + 2 …………. (i) 

 এবং y = x – 2 …………… (ii)

(1)নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি : 

x – 2 0 1

y – 4 2 5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু ( – 2, – 4), (0, 2), (1, 5)।

আবার (2) নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x – 2 1 3

y – 4 -1 1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (- 2, – 4), (1, -1), (3, 1)।

মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y- অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।

এখন, সমীকরণ (1) এর লেখের (-2, – 4), (0, 2) ও (1, 5) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উভয় দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = 3x + 2 সমীকরণটির লেখ।

আবার, সমীকরণ (2) এর লেখের (- 2, – 4), (1, -1) ও (3, 1) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটি উভয় দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = x – 2 সমীকরণটি লেখ।

ধরি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ, A বিন্দু উভয় রেখার সাধারণ বিন্দু। A এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। 

লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ = -2.

∴ সমাধান : x = -2

প্রশ্নঃ 10 : 3x – 7 = 3 – 2x

 সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ, 3x – 7 = 3 – 2x

 ধরি, y = 3x – 7 ……………….. (i)

 এবং y = 3 – 2x ………………… (ii)

সমীকরণ(i)-এ x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি : 

x 0 3 5

y – 7 2 8

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, -7), (3, 2), (5, 8)

আবার, (2)নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি : 

x 0 2 4

y 3 -1 -5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 3), (2, -1), (4, – 5)।

মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। 

সমীকরণ (1) লেখের (0, -7), (3, 2) ও (5, 8) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উত্তর দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = 3x – 7 সমীকরণটির লেখ। 

সমীকরণ (2) লেখের (0, 3), (2, – 1) ও (4, -5) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উভয় দিকে বর্ধিত করি। এটিই y = 3 – 2x সমীকরণটির লেখ।

ধরি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ A বিন্দু উভয় রেখার সাধারণ বিন্দু। A এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

 

লেখ থেকে দেখা যে, A বিন্দুর ভুজ = 2.

∴ সমাধান : x = 2

গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনি প্রশ্নোত্তর

1. (3, – 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

[ক] প্রথম

[খ] দ্বিতীয়

[গ] তৃতীয়

☑ চতুর্থ

2. ax + by = ab এবং ax – by = ab সমীকরণের সমাধান কোনটি?

[ক] (a, b)

[খ] (ন, a)

☑ (ন, 0)

[ঘ] (0, b)

3. কোন সমীকরণটি মূল বিন্দুগামী?

[ক] 2x = 3y + 2

[খ] x + 3y = 5

[গ] 3x = 8y + 2

☑ 4x = 3y

4. (2, 3) বিন্দুটি নিচের কোন সমীকরণের উপর অবস্থিত হবে?

[ক] x + y = 2

[খ] x + 3y = 5

[গ] 2x + y = 6

☑ 2x + y = 7

12.4 : লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান

সাধারণ বহুনির্বাচনি প্রশ্নোত্তর

5. অক্ষরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত? (সহজ)

[ক] (1, 1)

[খ] (0, 1)

☑ (0, 0)

[ঘ] (1, 0)

6. নিচের কোন বিন্দুটি x অক্ষরেখার উপর অবস্থিত? (সহজ)

☑ (1, 0)

[খ] (2, 1)

[গ] (1, 2)

[ঘ] (0, -2)

7. নিচের কোন বিন্দুটি y অক্ষরেখার উপর অবস্থিত? (সহজ)

[ক] (4, 0)

☑ (0, 4)

[গ] (5, 0)

[ঘ] (6, 4)

 ব্যাখ্যা : y-অক্ষের উপর x = 0

 ∴ (0, 4) বিন্দু y-অক্ষরেখার উপর অবস্থিত।

8. x ও y চলকের সম্পর্ক যে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে কী বলে? (সহজ)

[ক] রেখাচিত্র

☑ লেখচিত্র

[গ] বহুভুজ

[ঘ] আয়তলেখ

9. লেখচিত্রে কয়টি বিন্দু থাকে? (সহজ)

[ক] 2

[খ] 3

[গ] 4

☑ অসংখ্য

10. ছক কাগজে কয়টি বর্গকে একক ধরলে (3, 6) বিন্দুটি (9, 18) বিন্দু হিসেবে স্থানাঙ্কায়িত করা যায়? (মধ্যম)

[ক] 1

☑ 3

[গ] 4

[ঘ] 5