SSC গণিত সমাধান সৃজনশীল (Srijonshil) এবং বহুনির্বাচনি (mcq) প্রশ্নের উত্তর অনুশীলনী-৫.২ pdf download ~ Exam Cares

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

◈ এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

 যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। 

 যেমন, ax² + bx + c = 0 [যেখানে, a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0] একটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ একটি দ্বিমাত্রিক বহুপদী। সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য ধরা হয়।

 অষ্টম শ্রেণিতে x² + px + q এবং ax² + bx + c আকারের এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি। এখানে আমরা x² + px + q = 0 এবং ax² + bx + c = 0 আকারের দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে চলকের মান নির্ণয়ের মাধ্যমে এরূপ সমীকরণ সমাধান করবো।

 উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে বাস্তব সংখ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম প্রয়োগ করা হয়। ধর্মটি নিম্নরূপ :

 যদি দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হয়, তবে রাশিদ্বয়ের যেকোনোটি অথবা উভয় রাশি শূন্য হবে। অর্থাৎ, দুইটি রাশি a ও b এর গুণফল ab = 0 হলে, a = 0 বা, b = 0, অথবা a = 0 এবং b = 0 হবে।

◈ দ্বিঘাত সমীকরণের ব্যবহার

 আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক সমস্যা সরল সমীকরণ ও দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করে সহজে সমাধান করা যায়।

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?

 ক. 3

 খ. 2

  1

 ঘ. 0

 ব্যাখ্যা : a²x + b = 0 সমীকরণের চলক x, এর সর্বোচ্চ ঘাত 1.

 সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির ঘাত 1.

প্রশ্নঃ 2 : নিচের কোনটি অভেদ?

 ক. (x + 1)² + (x – 1)² = 4x

  (x + 1)² + (x – 1)² = 2(x² + 1)

 গ. (a + b)² – (a – b)² = 2ab

 ঘ. (a – b)² = a² + 2ab + b²

 ব্যাখ্যা : বামপক্ষ = (x + 1)² + (x – 1)²

 = x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1

 = 2x² + 2

 = 2(x² + 1)

প্রশ্নঃ 3 : (x – 4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

ক. 1টি

2টি

গ. 3টি

ঘ. 4টি

 ব্যাখ্যা : (x – 4)² = 0

 বা, (x – 4)(x – 4) = 0

 x = 4, 4

 সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল 2টি

প্রশ্নঃ 4 : x² – x – 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

ক. 3, 4

খ. 3, – 4

– 3, 4

ঘ. – 3, – 4

 ব্যাখ্যা : x² – x – 12 = 0

 বা, x² – 4x + 3x – 12 = 0

 বা, x(x – 4) + 3(x – 4) = 0

 বা, (x – 4)(x + 3) = 0

 ∴ x = 4, -3

প্রশ্নঃ 5 : 3x² – x + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

ক. 3

খ. 2

গ. 1

-1

 ব্যাখ্যা : 3x² – x + 5 = 0

 ∴ 3x² + (-1) x + 5 = 0 এখানে, x এর সহগ – 1.

প্রশ্নঃ 6 : নিচের সমীকরণগুলো লক্ষ কর : 

 i. 2x + 3 = 9

 ii. x² – 2 = – 1

 iii. 2x + 1 = 5

 উপরের কোন সমীকরণগুলো পরস্পর সমতুল?

ক. i ও ii

ii ও iii

গ. i ও iii

ঘ. i, ii ও iii

প্রশ্নঃ 7 : x² – (a + b) x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?

{a, b}

খ. {a, -b}

গ. { – a, b}

ঘ. { – a, – b}

 ব্যাখ্যা : x² – (a + b) x + ab = 0

 বা, x² – ax – bx + ab = 0

 বা, x(x – a) – b(x – a) = 0

 বা, (x – a)(x – b) = 0 ∴ x = a, b

 ∴ সমাধান সেট S = {a, b}

প্রশ্নঃ 8 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। এই তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

 (1) একক স্থানীয় অঙ্ক x হলে, সংখ্যাটি কত?

ক. 2x

খ. 3x

গ. 12x

21x

 ব্যাখ্যা : দেওয়া আছে, একক স্থানীয় অঙ্ক x

  ∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক 2x

  ∴ সংখ্যাটি = x + 10 . 2x = 21x

 

(2) অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?

ক. 3x

খ. 4x

12x

ঘ. 21x

 ব্যাখ্যা : অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10.x + 2x = 12x

 (3) x = 2 হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?

18

খ. 20

গ. 34

ঘ. 36

 ব্যাখ্যা : (1) হতে পাই,

  সংখ্যাটি 21x = 21.2 = 42

  (2) নং হতে পাই, সংখ্যাটি = 12x = 12.2 = 24

  সংখ্যা দুইটির পার্থক্য, 42 – 24 = 18

⬔ সমাধান কর (9 – 18) :

প্রশ্নঃ 11 : y(y – 5) = 6

 সমাধান : y(y – 5) = 6

 বা, y² – 5z = 6

 বা, y² – 5y – 6 = 0 [পক্ষান্তর করে]

 বা, y² – 6y + z – 6 = 0

 বা, y(y – 6) + 1(y – 6) = 0

 বা, (y – 6) (y + 1) = 0

 হয়, y – 6 = 0

 ∴ y = 6

অথবা, y + 1 = 0

 ∴ y = -1

নির্ণেয় সমাধান : y = 6 অথবা, -1

প্রশ্নঃ 12 : (y + 5)(y – 5) = 24

  সমাধান : (y + 5)(y – 5) = 24

 বা, y² – 52 = 24

 বা, y² – 25 = 24

 বা, y² = 24 + 25 [পক্ষান্তর করে]

 বা, y = ± √49 ∴ y = ± 7

নির্ণেয় সমাধান y = ± 7

প্রশ্নঃ 13 : 2(z² – 9) + 9z = 0

 সমাধান : 2(z² – 9) + 9z = 0

 বা, 2z² – 18 + 9z = 0

 বা, 2z² + 9ু – 18 = 0 

 বা, 2z² + 12z – 3z – 18 = 0 

 বা, 2z (z + 6) – 3(z + 6) = 0

 বা, (z + 6) (2z – 3) = 0

 হয়,√z + 6 = 0 অথবা, 2z – 3 = 0 

 ∴ z = – 6 বা, 2z = 3 ∴ z = 32 

 নির্ণেয় সমাধান : z = – 6 অথবা, 32

প্রশ্নঃ 15 : (z – 10) (z + 10) = 21

 সমাধান : (z – 10) (z + 10) = 21

 বা, z² – (10)² = 21     [∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]

 বা, z² – 100 = 21

 বা, z² = 21 + 100

 বা, z² = 121

 বা, z = ± √121

 ∴ z = ± 11

নির্ণেয় সমাধান : z = ± 11

⬔ সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (26 – 31) :

প্রশ্নঃ 26 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15 এবং এদের গুণফল 56; সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি x

এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি = 15 – x

∴ সংখ্যাটি = 10 × (15 – x) + x

 = 150 – 10x + x = 150 – 9x

প্রশ্নানুসারে, x(15 – x) = 56

 বা, 15x – x² = 56

 বা, 15x – x² – 56 = 0   [পক্ষান্তর করে]

 বা, – (x² – 15x + 56) = 0

 বা, x² – 15x + 56 = 0  [উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে]

 বা, x² – 7x – 8x + 56 = 0

 বা, x(x – 7) – 8(x – 7) = 0

 বা, (x – 7)(x – 8) = 0

 হয়, x – 7 = 0

  ∴ x = 7

অথবা, x – 8 = 0

  ∴ x = 8

এখন, x = 7 হলে, সংখ্যাটি (150 – 9x) = (150 – 9 × 7)

  = 150 – 63 = 87

∴ x = 8 হলে, সংখ্যাটি (150 – 9x) = (150 – 9 × 8) 

 = 150 – 72 = 78

নির্ণেয় সংখ্যাটি 78 অথবা 87

প্রশ্নঃ 28 : একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যরে অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি. 

 এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি.

 ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

 x² + (x + 3)² = 152

 বা, x² + x² + 6x + 9 = 225

 বা, 2x² + 6x + 9 – 225 = 0 [পক্ষান্তর করে]

 বা, 2x² + 6x – 216 = 0

 বা, x² + 3x – 108 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

 বা, x² + 12x – 9x – 108 = 0

 বা, x(x + 12) – 9(x + 12) =0

 বা, (x + 12) (x – 9) = 0

 হয়, x + 12 = 0

 ∴ x = -12

অথবা, x -9 = 0

 ∴ x = 9

যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = (9 + 3) সে.মি. = 12 সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 9 সে.মি. এবং 12 সে.মি.

প্রশ্নঃ 29 : একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

 সমাধান : ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = x মিটার 

তাহলে ত্রিভুজ ভূমি = (2x + 6) মিটার

 

 প্রশ্নমতে, ½. (2x + 6) . x = 810 [∵ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা]

 বা, (x + 3)x = 810

 বা, x² + 3x – 810 = 0

 বা, x² + 30x – 27x – 810 = 0

 বা, x(x + 30) – 27(x + 30) = 0

 বা, (x + 30) (x – 27) = 0

 হয়, x + 30 = 0

 ∴ x = – 30

 অথবা, x – 27 = 0

 ∴ x = 27 

 যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের উচ্চতা 27 সে.মি.। 

 নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 27 সে. মি.। (Ans.)

প্রশ্নঃ 30 : একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?

সমাধান : 

মনে করি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা x জন

∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সহপাঠীর সংখ্যা (x-1) জন

সুতরাং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (x – 1) টাকা

প্রশ্নানুসারে, x(x – 1) = 420

 বা, x² – x = 420

 বা, x² – x – 420 = 0 [পক্ষান্তর করে]

 বা, x² – 21x + 20x – 420 = 0

 বা, x(x – 21) + 20(x – 21) = 0

 বা, (x – 21)(x + 20) = 0

 হয়, x – 21 = 0

 ∴ x = 21

আবার, x + 20 = 0

 ∴ x = -20

যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা 21 জন।

এবং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (21-1) টাকা বা 20 টাকা করে। (Ans.)

প্রশ্নঃ 31 : একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

 সমাধান : মনে করি, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x জন

 ∴ প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ = (x + 30) পয়সা

 এবং মোট চাঁদা = x (x + 30) পয়সা

 আবার, মোট চাঁদা = 70 টাকা

 = 70 × 100 পয়সা = 7000 পয়সা

 প্রশ্নমতে, x (x + 30) = 7000 

 বা, x² + 30x – 7000 = 0  [পক্ষান্তর করে]

 বা, x² + 100x – 70x – 7000 = 0 

 বা, x(x + 100) – 70(x + 100) = 0 

 বা, (x + 100) (x – 70) = 0 

 হয়, x + 100 = 0

 ∴ x = – 100

   অথবা, x – 70 = 0

 ∴ x = 70 

 যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা হবে 70 জন।

 ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীদের সংখ্যা 70 জন। (Ans.)

প্রশ্নঃ 32 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 9 বেশি।

ক. চলক x এর মাধ্যমে প্রদত্ত সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ।

খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক. মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক  = x

 ∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7 – x

 ∴ সংখ্যাটি = 10(7 – x) + x

 = 70 – 10x + x = 70 – 9x(Ans.)

 অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়। 

 = 10x + (7 – x) = 10x + 7 – x = 9x+ 7 (Ans.)

খ. প্রশ্নানুসারে, 9x+ 7 = 70 – 9x+ 9

 বা, 9x+ 9x = 70 + 9 – 7   [পক্ষান্তর করে]

 বা, 18x = 72

 বা, x = 72/18

 ∴ x = 4

 ∴ সংখ্যাটি = 70 – 9 . 4 = 70 – 36 = 34 (Ans.)

প্রশ্নঃ 33 : একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে (x – 1) সে.মি. ও x সে.মি. এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান। আবার, একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি. ও প্রস্থ x সে.মি.।

ক. একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে তথ্যগুলো দেখাও। 

খ. ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 10 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

গ. ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত বের কর। 

সমাধান :

ক. উপরের তথ্যগুলো একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো :

 

খ. আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা

 বা, 10 = ½ . (x – 1) . x

 বা, 20 = x² – x

 বা, x² – x – 20 = 0 [পক্ষান্তর করে]

 বা, x² – 5x + 4x – 20 = 0

 বা, x(x – 5) + 4(x – 5) = 0

 বা, (x – 5)(x + 4) = 0

 হয়, x – 5 = 0

  ∴ x = 5

 অথবা, x + 4 = 0

  ∴ x = – 4

 যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি.

 ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি. (Ans.)

গ. ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা

 = ½ . (x – 1) . x

 = ½ × (5 – 1) × 5 [∵ x = 5]

 = 10

 বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (5)² বর্গ সে.মি.

 = 25 বর্গ সে.মি.

 আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

 = (x + 3) . x বর্গ সে.মি.

 = (5 + 3) . 5 বর্গ সে.মি.

 = 8 . 5 বর্গ সে.মি. = 40 বর্গ সে.মি.

 ∴ ত্রিভুজক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র : আয়তক্ষেত্র = 10 : 25 : 40

 = 2 : 5 : 8 [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে 5 দ্বারা ভাগ করে]

 নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 5 : 8।