৯ম-১০ম শ্রেণির গাইড এবং এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
উচ্চতর গণিত
অধ্যায়-০১
সেট ও ফাংশন
Class 9-10 Guide and Complete SSC Exam Preparation pdf download
SSC Higher Mathematics
Chapter-01
Sets and functions
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ সেট (Set) : বাস্তব জগত বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট বলা হয়। সেটকে সাধারণত ইংরেজি বড় অক্ষ A, B, C, D, X, Y ইত্যাদি এবং সেটের সদস্যকে ছোট অক্ষ a, b, c, d, x, y ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ সার্বিক সেট (Universal set) : নির্দিষ্ট সেটের আলোচনাধীন সকল সেটের সেটকে সার্বিক সেট বলা হয়। সার্বিক সেটকে U বা S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ উপসেট (Subset) : A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} এবং C = {1, 2, 3, 4} সেট তিনটি বিবেচনা করলে দেখা যায় B সেটের প্রতিটি উপাদান A সেটে বিদ্যমান সুতরাং B সেটকে A সেটের উপসেট বলা হয় এবং লেখা হয় B ⊆ A.
◈ প্রকৃত উপসেট (Proper Subset) : A সেটের প্রত্যেক উপাদান যদি B সেটে বিদ্যমান থাকে এবং B সেটে অন্তত একটি উপাদান থাকে যা A সেটে নেই, তবে A কে B এর প্রকৃত উপসেট বলে।
◈ ফাঁকা সেট (Empty set) : যে সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য বা কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। এই সেটকে { } বা Ø দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ সেটের সমতা (Equality of sets) : দুইটি সেটের উপাদান একই হলে সেট দুইটিকে সমান বলা হয় এবং = চিহ্ন দিয়ে সমতা বোঝানো হয়।
◈ সেটের অন্তর (Difference of sets) : A\ B কে A বাদ B সেট বলা হয়। B এর সকল উপাদান বর্জন করে A এর অন্য উপাদান নিয়ে A\ B গঠন করা হয়।
◈ পূরক সেট (Complementary set) : যদি A সেট সার্বিক সেট U এর একটি উপসেট হয় তবে A এর উপাদানগুলো বাদে সার্বিক সেটের অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এর পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে A’ বা Ac দ্বারা সূচিত করা হয়।
◈ শক্তি সেট (Power set) : A সেটের সকল উপসেটের সেটকে A এর শক্তি সেট বলা হয় এবং P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ ভেনচিত্র (Venn Diagram) : কোনো সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে যে জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করা হয় তাকে ভেনচিত্র বলে। বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন : আয়তকার ক্ষেত্র, বৃত্তাকার ক্ষেত্র ইত্যাদি ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়।
◈ সেটের সংযোগ (Union of sets) : দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলে। A ও B এর সংযোগ সেট A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ সেটের ছেদ (Intersection of sets) : দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B.
◈ নিশ্ছেদ সেট (Disjoint set) : দুইটি সেটের কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে, তাদেরকে নিশ্ছেদ সেট বলে।
◈ এক-এক মিল (One–One Correspondence) : যদি A সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদান এবং B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে A সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা হয়, তবে তাকে A ও B সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল বলা হয়।
◈ সমতুল সেট (Equivelent set) : যেকোনো সেট A ও B এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল A ↔ B বর্ণনা করা যায়, তবে A ও B-কে সমতুল সেট বলা হয়। A ও B সেট সমতুল বোঝাতে অনেক সময় A 〜 B প্রতীক লেখা হয়।
◈ সেটের সূত্র :
(i) A ও B শান্ত সেট হলে n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n(A ∩ B)
(ii) A, B ও C নিশ্ছেদ সেট হলে
☑ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) [ ∵ A ∩ B = 0]
☑ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
(iii) A, B ও C যেকোনো সেটের জন্য :
(iv) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
(v) n(A) = n(ট) – n(A)
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
1. i. কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে, এর উপসেটের সংখ্যা হবে 4n
ii. সকল মূলদ সংখ্যার সেট Q = p/q : p, q ∪ Z
iii. a,b ∈ R;] a,b [={x : x ∈ R এবং a < x < b}]
উপরের উক্তির আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
[ক] i ও ii
[খ] ii ও iii
☑ i ও iii
[ঘ] i, ii ও iii
[ বি. দ্র. p, q ∪ Z এর স্থানে p, q ∈ Z হলে উত্তর : i, ii ও iii সঠিক]
নিচের তথ্যের আলোকে (2 – 4) নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
প্রত্যেক n ∈ N এর জন্য An = {n, 2n, 3n………}
2. A¹ ∩ A² এর মান নিচের কোনটি?
[ক] A¹
☑ A²
[গ] A³
[ঘ] A⁴
ব্যাখ্যা : n ∈ N দ্বারা বুঝায় n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার উপাদান
হ ∈ N এর জন্য An = {n, 2n, 3n ……..}
A¹ = {1, 2, 3, 4 ………..}
A² = {2, 4, 6 ………….}
∴ A¹ ∩ A² = {2, 4, 4 ……….} = A²
3. নিচের কোনটি A³ ∩ A⁶ এর মান নির্দেশ করে?
[ক] A²
[খ] A³
[গ] A⁴
☑ A⁶
4. A² ∩ A³ এর পরিবর্তে নিচের কোনটি লেখা যায়?
[ক] A³
[খ] A⁴
[গ] A⁵
☑ A⁶
প্রশ্ন : 5 : দেওয়া আছে U = { x : 3 ≤ x ≤ 20 , n ∈ Z}, A = { x : x বিজোড় সংখ্যা} এবং B = { x : x মৌলিক সংখ্যা}
নিম্নের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লিপিবদ্ধ কর :
(i) A
(ii) B
(iii) C = {x : x ∈ A এবং x ∈ B } এবং
(iv) D = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B }
সমাধান :
দেওয়া আছে, U = { x : 3 ≤ x ≤ 20, x ∈ Z}
∴ U = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A = { x : x বিজোড় সংখ্যা }
B = { x : x বিজোড় সংখ্যা }
(i) A = { x : x বিজোড় সংখ্যা }
∴ A = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
(ii) B = { x : x বিজোড় সংখ্যা}
∴ B = { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
(iii) দেওয়া আছে, C = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}
A ∩ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}∩ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
= {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
[নোট : C হলো 3 থেকে 20 পর্যন্ত সকল মৌলিক বিজোড় সংখ্যার সেট এবং C = B।]
(iv) D = { x : x ∈ A অথবা x ∈ B}
A ∪ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} ∪ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
= {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
প্রশ্ন : 6 : ভেনচিত্রে A এবং B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। যদি n(A) = n (B) হয়, তবে নির্ণয় কর
(a) x এর মান (b) n(A ∪ B) এবং n(A ∩ B’).
সমাধান :
প্রদত্ত ভেনচিত্রে n(A) = 3x + x
n(B) = x + 2x + 8
n(A ∪ B) = 3x + x + 2x + 8
n(A ∩ B’) = 3x
(a) দেওয়া আছে, n(A) = n(B)
বা, 3x + x = x + 2x + 8
বা, 4x = 3x + 8
∴ x = 8 (Ans.)
(b) আমরা জানি, n(A∪ B) = n(A) + n (B) – n(A ∩ B)
= 3x + x + x + 2x + 8 – x
= 6x + 8 = 6 × 8 + 8 [ ∵ x = 8]
= 56 (Ans.)
এবং n(A ∩ B’) = n(A) – n(A ∩ B) [ভেনচিত্র থেকে]
= 3x + x – x = 3x = 3 × 8 [ ∵ x = 8]
= 24 (Ans.)
[নোট : ভেনচিত্রে 3x, x, 2x + 8 দ্বারা A ও B সেটের উপাদান নয় বরং উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়েছে।]
প্রশ্ন : 7 : যদি U = {x : x জোড় পূর্ণ সংখ্যা}, A = { x : x ≥ 5} ⊂ U এবং B = { x : x < 12} ⊂ U তবে n(A ∩ B) এবং n (A’) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, U = { x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……….}
A = { x : x ≥ 5}
∴ A = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11……}
এবং B = { x : x < 12}
∴ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
এখন, A ∩ B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, …. }∩{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
= { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
∴ n(A ∩ B) = 7 (Ans.)
এবং A’ = U – A
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …… } – { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}
= { 1, 2, 3, 4}
∴ n(A’) = 4 (Ans.)
প্রশ্ন : 8 : যদি U = { x : x জোড় পূর্ণসংখ্যা }, A = { x : 3x ≥ 25} ⊂ U এবং B = { x : 5x < 12} ⊂ U হয়, তাহলে n(A ∩ B) এবং n(A’ ∩ B’) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, U = { x : x জোড় পূর্ণ সংখ্যা}
∴ U = { ………., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, 8, …… }
A = { x : 3x ≥ 25}
∴ A = { 10, 12, 14, 16, 18, ……….}
এবং B = { x : 5x < 12}
∴ B = {…….., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2}
∴ A ∩ B = { 10, 12, 14, 16, 18, ….. } ∩ { …., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2}
= { }
∴ n(A ∩ B) = 0 (Ans.)
আবার, A’ = U – A
= { ……, – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, ……}
– { 10, 12, 14, 16, 18, ……}
= { …….., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, 8}
এবং B’ = U – B
= { ….., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, ……}
– { ………., – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2}
= {4, 6, 8, ……..}
∴ A’ ∩ B’ = { ………, – 8, -6, – 4,
– 2, 0, 2, 4, 6, 8} ∩ { 4, 6, 8…….}
= { 4, 6, 8}
∴ n(A’ ∩ B’) = 3 (Ans.)
প্রশ্ন : 9 : দেখাও যে, (ক) A\ A = Φ (খ) A\(A\ A) = A
সমাধান :
(ক) মনে করি, x ∈ A \ A
তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ A
বা, x ∈ Φ
∴ A \ A ⊂ Φ
আবার, মনে করি, x ∈ Φ
তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ A
বা, x ∈ A\A
∴ Φ ⊂ A\ A
সুতরাং A \ A = Φ (দেখানো হলো)
(খ) মনে করি, x ∈ A\(A\A)
তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ (A\ A)
বা, x ∈ A এবং x ∉ Φ [ ∵ A \ A = Φ]
বা, x ∈ A
∴ A\ (A\ A) ⊂ A
আবার, মনে করি, x ∈ A
তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ Φ
বা, x ∈ A এবং x ∉ (A\A)
বা, x ∈ A\ (A\ A)
∴ A ⊂ A\ (A\ A)
সুতরাং A\ (A\A) = A (দেখানো হলো)
প্রশ্ন : 10 : দেখাও যে, A × ( B ∪ C ) = (A × B) ∪ ( A × C )
সমাধান : কার্তেসীয় গুণজ সেটের সংজ্ঞানুসারে,
A × (B ∪ C) = { (x, y) : x ∈ A, y ∈ (B ∪ C) }
= {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা y ∈ C}
= {(x, y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}
= { (x, y) : (x, y) ∈ (A × B) অথবা (x, y) ∈ (A × C)}
= {(x, y) : (x, y) ∈ (A ×B) ∪ (A × C)}
= (A × B) ∪ (A × C)
∴ A × (B ∪ C) ⊂ (A × B) ∪ (A × C)
আবার, (A × B) ∪ (A × C) = { (x, y) : (x, y) ∈ (A × B)
অথবা, (x, y) ∈ (A × C)}
= { (x, y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}
= { (x, y) : x ∈ A, y ∈ (B ∪ C)}
= {(x, y) : (x, y) ∈ A × ( B ∪ C)}
∴ (A × B) ∪ (A × C) ⊂ A × (B ∪ C)
∴ A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন : 11 : যদি A ⊂ B এবং C ⊂ D হয়, তবে দেখাও যে,
(A × C) ⊂ (B × D)
সমাধান : মনে করি, (x, y) ∈ A × C
তাহলে x ∈ A এবং y ∈ C
বা, x ∈ B এবং y ∈ উ [∵ A ⊂ B এবং C ⊂ D]
বা, (x, y) ∈ B × D
∴ (A × C) ⊂ (B × D) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন : 12 : দেখাও যে, A = { 1, 2, 3, …….., n} এবং
B = { 1, 2, 22, …………., 2n-1} সেট দুইটি সমতুল।
সমাধান : দেওয়া আছে, A = { 1, 2, 3,………, n}
এবং B = {1, 2, 22, …… , 2n -1}
A ও B এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিচের চিত্রে দেখানো হলো :
A: 1, 2, 3, ………. n
B : 1, 2, 22, ………. 2n – 1
আমরা জানি, যেকোনো দুইটি সেটের মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল বর্ণনা করা যায়, তবে ঐ সেট দুটি সমতুল।
সুতরাং A ও B সেট দুইটি সমতুল। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন : 13 : দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট S = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, ……….} একটি অনন্ত সেট।
সমাধান : দেওয়া আছে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট, S = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, ………..}
= {12, 22, 32, 42, 52, 62 …………..n² ……………}
এখন স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, ……..n………}
N ও S এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিচে দেখানো হলো :
N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……হ …….
S : 1, 4, 9, 16, 25, 36, ……হ2……..
সুতরাং N ও S সমতুল। যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N একটি অনন্ত সেট।
সুতরাং আমরা বলতে পারি, S একটি অনন্ত সেট। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন : 14 : প্রমাণ কর যে, n(A) = P, n(B) = q এবং (A ∩ B) = Φ হলে, n(A∪ B) = p + q।
সমাধান : আমরা জানি, n(A∪ B) = n(A) + n (B) – n(A ∩ B)
= p + q – n (Φ) [মান বসিয়ে]
= p + q – 0
= p + q (প্রমাণিত)
প্রশ্ন : 15 : প্রমাণ কর যে, A, B, C সান্ত সেট হলে,
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n (B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n (C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)।
সমাধান : বামপক্ষ = n(A ∪ B ∪C)
= n{ (A ∪ B) ∪ C}
= {n(A∪ B) + n (C) – n{ (A ∪ B) ∩ C}
[ ∵ n(A ∪ B) = n(A) + n (B) – n(A ∩ B)]
= n(A) + n (B) – n(A ∩B) + n (C)
– n{(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)}
= n(A) + n(B) + n (C) -n(A ∩B) – {n(A ∩ C)
+ n (B ∩ C) – n(A ∩ B ∩ C)}
= n(A) + n (B) + n (C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C)
– n (B ∩ C) + n(A ∩ B∩ C)
= n(A) + n (B) + n(C) – n(A ∩ B) – n (B ∩ C)
– n (C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)