উচ্চতর গণিত : ৮ম সপ্তাহ : ২০২১

এমন দুইটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী হলো,

$P(x)=3x^3-12x$
$Q(x)= 3x^3-18x^2+36x-24$

যাদের একটি সাধারণ উৎপাদক $(x-2)$ এবং ধ্রবপদ $24$ এবং অন্য উৎপাদকগুলো একমাত্রিক।

বহুপদী দুটির একটিকে হর অন্যটিকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশটি কে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হলো:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=3x^3-\frac{12x}{3x^3}-18x^2+36x-24$

এখানে,

$P(x) =3x^3-12x$

           $= 3x(x^2- 4)$

           $=3x(x^2-2^2)$

           $=3x(x+2)(x-2)$

$Q(x)=3x^3-18x^2+36x -24$

           $=3(x^3-6x^2+12x^2-8)$

           $=3(x^3-3.x^2.2+3.x.2^2-2^3)$

           $=3(x-2)^3$

           $=3(x-2)(x-2)(x-2)$

$\frac{P(x)}{Q(x)}=3x^3-\frac{12x}{3x^3}-18x^2+36x-24$

           $=\frac{3x(x+2)(x-2)}{3(x-1)(x-2)(x-4)}$

           $=\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}$

ধরি,

$\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}= \frac A{(x-4)}+\frac B{(x-1)}$ ……(1)

(1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষে $(x-4)(x-1)$ গুণ করে পাই,

$x(x+2)=A(x-1)+ B(x-4)$ ……(2)

$x=1$ হলে,

$1(1+2)=A(1-1) + B(1-4)$

বা, $3=A\times0 + B\times(-3)$

বা, $3=-3B$

বা, $B= \frac{3}{-3}$

বা, $B= -1$

$x=4$ হলে,

$4(4+2)=A(4-1)+B(4-4)$

বা, $4 \times 6=A \times 3 + B \times 0$

বা, $24=3A+0$

বা, $3A=24$

বা, $A= \frac{24}{3}$

বা, $A=8$

সুতরাং $\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা হলে, ভগ্নাংশটি হয়

     $\frac {8}{(x-4)}+\frac {-3}{(x-1)}$

$=\frac {8}{(x-4)}-\frac {3}{(x-1)}$